Matematica discreta Esempi

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $3$ da $3 y + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $3$ da $3 y$ .

$\sqrt{3 (y) + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$\sqrt{3 y + 3 \cdot 3} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $3$ da $3 y + 3 \cdot 3$ .

$\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini non contenenti $\sqrt{3 (y + 3)}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Somma $\sqrt{y + 16}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{3 (y + 3)} - 1 = \sqrt{y + 16}$

Passaggio 3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{3 (y + 3)} = \sqrt{y + 16} + 1$

Passaggio 4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{3 (y + 3)}}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 (y + 3)}$ come ${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(3 (y + 3))}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(3 y + 3 \cdot 3)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

${(3 y + 9)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2

Semplifica.

$3 y + 9 = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ come $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ .

$3 y + 9 = (\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$

Passaggio 5.3.1.2

Espandi $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} (\sqrt{y + 16} + 1) + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

Passaggio 5.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

Passaggio 5.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Moltiplica $\sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{y + 16}$ alla potenza di $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{y + 16}$ alla potenza di $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} {\sqrt{y + 16}}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1 + 1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{y + 16}}^{2}$ come $y + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y + 16}$ come ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y + 9 = {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.2.5

Semplifica.

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{y + 16}$ per $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.4

Moltiplica $\sqrt{y + 16}$ per $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.5

Moltiplica $1$ per $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1$

Passaggio 5.3.1.3.2

Somma $16$ e $1$ .

$3 y + 9 = y + 17 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16}$

Passaggio 5.3.1.3.3

Somma $\sqrt{y + 16}$ e $\sqrt{y + 16}$ .

$3 y + 9 = y + 17 + 2 \sqrt{y + 16}$

Passaggio 6

Risolvi per $2 \sqrt{y + 16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$ .

$y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $2 \sqrt{y + 16}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $17$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y - 17$

Passaggio 6.2.3

Sottrai $y$ da $3 y$ .

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y + 9 - 17$

Passaggio 6.2.4

Sottrai $17$ da $9$ .

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y - 8$

Passaggio 7

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{y + 16})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Passaggio 8

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y + 16}$ come ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(y + 16)}^{1} = {(2 y - 8)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.4

Semplifica.

$4 (y + 16) = {(2 y - 8)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 4 \cdot 16 = {(2 y - 8)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.6

Moltiplica $4$ per $16$ .

$4 y + 64 = {(2 y - 8)}^{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ${(2 y - 8)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi ${(2 y - 8)}^{2}$ come $(2 y - 8) (2 y - 8)$ .

$4 y + 64 = (2 y - 8) (2 y - 8)$

Passaggio 8.3.1.2

Espandi $(2 y - 8) (2 y - 8)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 64 = 2 y (2 y - 8) - 8 (2 y - 8)$

Passaggio 8.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y - 8)$

Passaggio 8.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Passaggio 8.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Passaggio 8.3.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Passaggio 8.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Passaggio 8.3.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Passaggio 8.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Passaggio 8.3.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y - 8 \cdot - 8$

Passaggio 8.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 8$ per $- 8$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y + 64$

Passaggio 8.3.1.3.2

Sottrai $16 y$ da $- 16 y$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 32 y + 64$

Passaggio 9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$4 y^{2} - 32 y + 64 = 4 y + 64$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y^{2} - 32 y + 64 - 4 y = 64$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $4 y$ da $- 32 y$ .

$4 y^{2} - 36 y + 64 = 64$

Passaggio 9.3

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y^{2} - 36 y + 64 - 64 = 0$

Passaggio 9.4

Combina i termini opposti in $4 y^{2} - 36 y + 64 - 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Sottrai $64$ da $64$ .

$4 y^{2} - 36 y + 0 = 0$

Passaggio 9.4.2

Somma $4 y^{2} - 36 y$ e $0$ .

$4 y^{2} - 36 y = 0$

Passaggio 9.5

Scomponi $4 y$ da $4 y^{2} - 36 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Scomponi $4 y$ da $4 y^{2}$ .

$4 y (y) - 36 y = 0$

Passaggio 9.5.2

Scomponi $4 y$ da $- 36 y$ .

$4 y (y) + 4 y (- 9) = 0$

Passaggio 9.5.3

Scomponi $4 y$ da $4 y (y) + 4 y (- 9)$ .

$4 y (y - 9) = 0$

Passaggio 9.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y = 0$

$y - 9 = 0$

Passaggio 9.7

Imposta $y$ uguale a $0$ .

$y = 0$

Passaggio 9.8

Imposta $y - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1

Imposta $y - 9$ uguale a $0$ .

$y - 9 = 0$

Passaggio 9.8.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 9$

Passaggio 9.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 y (y - 9) = 0$ vera.

$y = 0, 9$

Passaggio 10

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$ vera.

$y = 9$